答疑坊 微积分 趣题若干

P1

类型：极限存在性

题目

证明下面的极限存在： \[ \lim_{n\to +\infty}(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{3^2})\cdots(1+\frac{1}{n^2}) \]

解答

显然上述数列单调增，因此只需要证明有上界 \[ \begin{aligned} &\quad \prod_{k=2}^n (1+\frac{1}{k^2})\\ &=\exp\left(\sum_{k=2}^n \ln (1+\frac{1}{k^2})\right)\\ &\le \exp\left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2}\right)\\ &\le \exp\left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}\right)\\ &=\exp\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\\ &=\exp(1-\frac{1}{n})\\ &\le e \end{aligned} \] 其中第 \(3\) 行使用常见不等式 \(\ln(1+x)\le x\) ，第 \(4\sim 6\) 行为裂项。

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P2

类型：\(e\) 相关极限不等式

题目

证明，对任意正整数 \(n\ge 2\) ， \[ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\frac{3}{2n}<(1+\frac{1}{n})^n<\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \]

解答

使用二项式定理 \[ \begin{aligned} (1+\frac{1}{n})^n&=\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}(1-\frac{j}{n}) \end{aligned} \] 显然对 \(n\ge 2\) , \(\prod_{j=0}^{k-1}(1-\frac{j}{n})< 1\) ，故右侧不等式成立。

考虑 Bernoulli 不等式： \[ \forall a_1,\cdots,a_n>-1,且a_i 同号，则\prod_{k=1}^n (1+a_k)>1+\sum_{k=1}^n a_k \] 故 \[ \begin{aligned} (1+\frac{1}{n})^n&>\sum_{k=0}^n\left( \frac{1}{k!}-\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{n}\right)\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\frac{k(k-1)}{2n}\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\sum_{k=2}^n \frac{1}{(k-2)!}\frac{1}{2n}\\ &\ge \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\frac{1}{2n}\left(2+\sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{k(k-1)}\right)\\ &=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\frac{1}{2n}(3-\frac{1}{n-2})\\ &>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}-\frac{3}{2n} \end{aligned} \]

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